SociologyBest

Пример 1. Рассмотрим доходы xi =a+(i‑1) h, где a – минимальный доход, а h – шаг дискретности, скажем, равный денежной единице. Если среднедушевые доходы ограничены величиной b, то всего градаций доходов будет n, где n=m+1, а m=(b-a)/h, т.е. x1=a, x2=a+h, x3=a+2h,…, xn =b. Если верхнюю границу указать трудно, то будем считать, что последовательность x1, x2,…, xn,… не ограничена. Пусть каждому xi соответствует вероятность pi (доля людей, имеющих среднедушевой доход, равный xi).

а) Доходы ограничены и нужно найти такие pi, чтобы достигала максимума. Очевидно, что . Таким образом, получена задача на условный экстремум. После дифференцирования функции Лагранжа по pi имеем систему уравнений – lnpi -1-l . Откуда получаем, что pi =e-1-l, т.е. одинаковы для любого i. Из уравнения получаем выражение lnn‑1-l=0 для величины l и l=lnn‑1, следовательно, pi =e-1-lnn+1=e-lnn=1/n. Теперь легко получить, что в этом случае, когда все величины доходов равновероятны, Em =lnn.

б) Банковские проценты, под которые можно вложить свой капитал, если они вполне разумны, не поддаются обоснованному ограничению сверху. Но в этой ситуации, как правило, заданы минимальные проценты – r, а также среднее значение всех процентов – b. Теперь появляется задача: найти такие pi, которые давали бы максимум при ограничениях и , где первые m значений pi=0, а значения xi=ih, когда i=m, m+1,…. С учетом всех ограничений функция Лагранжа будет равна

.

Принимая во внимание, что первые p1, p2,… pm – равны 0, так как минимум процента r=hm=xm, то можно найти (см. задачу 1)

,

где . В этом случае

=lnx/(1‑x).

в) Рассмотрим задачу из пункта а) этого примера, но в качестве меры расслоения возьмем не энтропию, а дисперсию. Попытка решить задачу так же, как в пункте а) приводит к выводу, что экстремума внутри области (симплекса и ) нет. Следовательно, задачу нужно решить на границе симплекса. Для простоты, рассмотрим какие-либо точки душевых доходов, x (не обязательно =a) c, и y (не обязательно =b) и соответствующие им доли людей (вероятности) обозначим p и q, оставшиеся на остальные точки xi вероятности обозначим через (g=p+q), т.е. 1-g=. По сути дела задача свелась к следующей: пусть заданы три величины среднедушевого дохода x£c£y, которые случайно выбранный из популяции человек имеет с вероятностями p, (1-g) и q. В этом случае, дисперсия равна D=x2p+y2q+c2(1-g) – [xp+yq+c (1-g)]2. Можно показать (см. задачу 2), что

D=p (1‑p) (y-x)2 – (1-g) [2y (y-x)+g(y2-c2)+2c (xp+yq)].

Поэтому последнее слагаемое неотрицательно и оно равно 0 при p+q=1, т.е. при 1-g=0. Отсюда следует, что maxD=p (1‑p) (b-a)2 при заданном p, maxD=p (1‑p) (y-x)2 при заданных x и y и при всех (x, y, p) свободных параметрах.

Рассматривать аналог пункта б) для дисперсий не имеет смысла, так любое распределение, имеющее математическое ожидание при несуществующей дисперсии дает ответ.

Замечание 1

к примеру 1б. Все выведенные распределения имеют непрерывные аналоги; так для пункта а) таким аналогом будет равномерное распределение на отрезке [a, b]. Для пункта б) аналогом будет показательное распределение с и плотностью , отличными от 0 при x³a.

Замечание 2

к примеру 1б. Представляет интерес получить распределение с наибольшей энтропией не только при заданном среднем значении, но и заданной дисперсии. Для дискретного случая задача не решена, а для непрерывной случайной величины с неограниченным в обе стороны диапазоном ответ известен: распределение будет нормальным.

Пути решения проблемы одиночества пожилых людей в практике социальной работы. Общая характеристика социальной работы с одинокими пожилыми людьми
Зачастую одинокие пожилые люди не способны бороться за своё выживание по причине потери уверенности в себе и в своих силах духовных и физических. Современный мир просто неспособен уступать им свои позиции, нередко встречая их насмешками, ...

Концепция охраны здоровья населения Российской Федерации на период до 2005 г.
В 2000 г. Правительство РФ одобрило Концепцию охраны здоровья населения Российской Федерации на период до 2005 г., разработанную Минздравом России и РАМН. В Концепции было отмечено, что охрана здоровья населения является одним из приорит ...

Функции диаспоры
Судьба каждой диаспоры неповторима и своеобразна в такой же мере, в какой необычна и индивидуальна жизнь каждого человека. Вместе с тем, в их деятельности есть немало общих функций. Они присущи как «старым», так и «новым» диаспорам как то ...